상자모델 - 환기가 안 될 때의 농도와 물질수지식 (CSTR일 경우)

 

그림의 상자 내 초기 농도를 $C_{i}$, 상자 내 시간($t$)이 지난 후의 농도를 $C_{t}$, 상자 부피를 $V$, 그리고 상자 밖의 농도를 $C_{o}$라고 가정한다면,

 

$\frac{d(VC)}{dt} = q (g/min)$

$\frac{d(VC)}{dt} \rightarrow V\frac{dC}{dt} + C\frac{dV}{dt}\cdots$ⓐ

$V$ is constant, $\frac{dV}{dt}=0$

$\therefore \frac{d(VC)}{dt} \rightarrow V\frac{dC}{dt} = q$

 

 

시간에 따라 변하는 부하량(부피 x 농도)을 배출량 $q$로 두는 식을 부피와 농도에 따라 전개해 볼 수 있다.(ⓐ) 상자 부피는 시간에 따라 변하지 않으므로, $\frac{dV}{dt}$는 0이 된다. 따라서 마지막 줄의 식을 유도할 수 있다.

이것을 적분하면,

 

$C_{t} = C_{i} + \frac{q}{V}t$

 

으로 나타낼 수 있다.

 

쉽게 말하면, 기존 상자에 존재하는 오염물질의 농도와, 시간($t$)동안 발생한 상자 내부 오염물질 농도를 더해서 최종 농도를 구할 수 있다는 의미이다.