수질오염물질 거동 해석 - 난류확산 방정식

실제 하천에서 물질교환의 주된 요인은 혼합에 의한 희석이 현저하게 일어나는 지점을 제외하면 난류확산이 지배적이다. 이런 점에서 대부분의 하천수는 난류확산을 통해 오염물질의 농도분포가 달라진다. 다음은 난류 확산을 하는 하천에서의 오염물질 농도분포, 환언하면 난류확산 하천에서의 오염물질 이동상태를 표현한 식이다.

여기서

$C$ : 하천수의 오염물질농도(㎎/L)

$u, v, w$ : 유하거리(w), 단면(y), 수심(z)방향의 유속(m/sec)

$x, y, z$ : 유하거리, 단면, 수심의 방향

$D_{x}, D_{y}, D_{z}$ : x, y, z 방향의 난류확산계수

$w_{0}$ : 대상 오염물질의 침강속도(m/sec)

$K$ : 대상 오염물질의 자기감쇄계수*

* 방사성 물질의 붕괴 계수와 같은, 오염물질의 자기 감쇄 상수를 일컫는다.

이 방정식에서는 하천 본류의 유량, 수질의 시간적 변화는 고려하지 않는다. 이 식은 오염물질이 유입하여 변화하는 경우에 적용할 수 있다.

위 방정식 중 아래 잘라낸 부분인 아래 방정식은,

$\frac{\partial }{\partial x}(D_{x}\frac{\partial C}{\partial x}) + \frac{\partial }{\partial y}(D_{y}\frac{\partial C}{\partial y}) + \frac{\partial }{\partial z}(D_{z}\frac{\partial C}{\partial z})$

난류확산 과정을 나타내며, 이 식의 뒷부분인 아래 식은

$w_{0}\frac{\partial C}{\partial z} - KC$

침전과 오염물질의 감소과정을 나타낸다. 

사실 이 식은 수리적으로 매우 복잡하고, 수학적으로 완전하게 해석하기 매우 어렵기에 실제 응용을 위해서 조건을 단순화하여 사용한다. 단순화한 조건의 모델들은 다른 포스트에서 다루도록 하겠다.