로지스틱 곡선을 이용한 인구 추정법 Logistic function : Modeling population growth

논리곡선법, 이론법, S곡선법, 포화인구 추정법이라고도 한다. 이 방법은 인구가 무한년 전에 0이고, 증가율이 점차 증가하여 중간 시점에서 최대의 증가세를 보이고, 그 후 증가율이 점차 감소하여 무한년 후에는 포화한다는 논리 곡선 이론에 기초한 방법이다. 포화인구를 추정하기 어렵다는 단점이 있지만 대체로 인구변화와 잘 맞아 널리 이용된다.

 

중간 점인 K/2지점이 증가율이 최대인 지점이다. 경사가 가파른 것을 볼 수 있다.

 

$f(t) = \frac{K}{1+e^{\alpha -\beta t}}$

 

여기서

$f(t)$ = 기준년으로부터 t년 후 인구수

$t$ = 기주년으로부터 경과 년수  

$K$ = 커브의 최대값, 여기선 포화인구를 뜻함.

$e$ = 자연로그의 밑

α, β = 상수

 

$y = f(t) = \frac{K}{1+e^{\alpha -\beta t}} \rightarrow y(1+e^{\alpha -\beta t})=K$
$\rightarrow (1+e^{\alpha -\beta t}) = \frac{K}{y}$
$\rightarrow e^{\alpha -\beta t} = \frac{K}{y} - 1 = \frac{K-y}{y}$
$\rightarrow logy - log(K-y) = \beta tloge - \alpha loge$

$where,$
$tloge = X$
$\alpha loge=Z$
$logy-log(K-y)=Y$

$\therefore Y = \beta X-Z$

 

위의 방정식은  처음 제시한 식을 변형한 후 양변에 $log$를 취해준 결괏값이다.

 

여기에 최소자승법을 통하면,

 

method of least squares,

$\alpha = \frac{1}{loge}\cdot \frac{\sum X\sum XY-\sum X^2\sum Y}{N\sum X^2-\sum X\sum X}$

 

$\beta = \frac{N\sum XY-\sum X\sum Y}{N\sum X^2-\sum X\sum X}$

 

where

$N$ : 인구통계 자료수