하천 일시 투입 모델 - 순간확산, 순간유입 모델 방정식을 중심으로

예시로 일정한 유속 $u$로 흐르는 하천에 농도가 $C_{1}$, 유입량이 $Q_{1}$인 오염수가 일시에 투입되어 하천의 오염물질 농도가 급격하게 변화한다고 가정했을 때,

If x=0, ∂C/∂y=0, ∂C/∂z=0, C=f(t)가 된다.

(1)x=0인 지점에서 오수가 유입되어, 하천의 횡단면적 A 내에 균일하게 분포되는 경우, (2)하류의 농도인 $C_{(x,t)}$는 아래의 식으로 구할 수 있다.

 

여기서

$D$ : 유하($x$)방향의 확산계수(하단 참조)*

$x$ : 유입지점으로부터 측정점까지의 거리

$t$ : 유입 후 측정까지의 시간

(2)식의 $S$는 아래와 같다.

$S = \frac{C_{1}Q_{1}}{A}$

앞서 가정했듯이

$C_{1}$ : 오수의 유입 농도($㎎/L$)

$Q_{1}$ : 오수의 유입량(㎥/day)

$A$ : 하천의 횡단면적($m^{2}$)

위는 하천을 수직으로 잘라 본 단면도이다. 초록색 해치는 오염물질을 나타내는데, 순간유입 모델에서 가정한 바와 같이 횡단면적에서 균일한 분포양상을 보이는 점을 확인할 수 있다.

* D(확산계수) 산정

확산 계수는 크게 실측 농도 자료를 토대로 산정하는 방법과 경험식을 이용하는 방법으로 나뉜다.

이 글에서는 경험식인 Elder식과 Fischer식을 서술하겠다.

$where,$

$v_{f}$ : 마찰속도

$h$ : 수심

$B$ : 하폭

마찰속도는

$v_{f} = \sqrt{ghI}$

$where,$

$g$ : 중력가속도

$I$ : 하천의 바닥 경사